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Seit kurzem ist jedes der elf Hauptkapitel dieses Kompendiums auch als E-Book erhältlich. Die E-Book-Versionen bieten eine optimierte Lesbarkeit auf Mobilgeräten wie auch am Desktop. Weitere Infos hier.

Etliche in der Messtechnik und Sensorik bekannte Institutionen haben nach wenigen Wochen der Freischaltung bereits über das Kompendium berichtet, z.B. das Messweb sowie die Strategische Partnerschaft Sensorik. Auch in Wikipedia haben wir etliche Links bereits entdeckt. Einen ausführlichen Bericht finden Sie ab S. 3 der Ausgabe 92 des Sensorik-Magazins. Das Magazin wird herausgegeben vom renommierten, vom Bayerischen Wirtschaftsministerium unterstützten Sensorik-Cluster.

Die Professur für Regelungstechnik und Elektrische Messtechnik verfügt über langjährige Erfahrung in der Durchführung von praxisnahen Studien- und Forschungsarbeiten für Unternehmen. Besonderes Know-How besteht in der Akquisition staatlicher Forschungsfördergelder für kleine und mittelständische Unternehmen (KMUs), welche die Professur im Rahmen geplanter Kooperationen gerne übernimmt. Web: https://www.unibw.de/regelungs-und-messtechnik

Die speziell auf Spezialisten und Führungskräfte in der Entwicklung fokussierte Technikstudie stellt die komplette Bandbreite der am Markt verfügbaren Komponenten bzw. Produkte für die IOT-Integration in eigene Geräte und Systeme dar. Wer ein Entwicklungsprojekt plant, das IOT-Fähigkeiten in das eigene Produkt bringt, erhält mit der Studie ein effizientes Auswahlwerkzeug. Ein zusätzlich enthaltener Grundlagenteil erläutert in übersichtlicher Weise die dabei relevanten Technologien. Zur Studie: https://www.studie-iot.de

Fördern Sie Ihre Mitarbeiter/-innen im technischen Bereich, indem Sie Ihnen einen Gutschein zu unserem Fortbildungszertifikat überlassen. Die notwendige fachliche Vorbereitung – z.B. in Form eines Studiums unseres hier frei zugänglichen Online-Kompendiums – kann der/die Mitarbeiter/-in absolut flexibel zu Zeiten durchführen, die betrieblichen wie privaten Rahmenbedingungen entgegen kommen. Der abschließende Test kann online durchgeführt und beliebig wiederholt werden. Weitere Infos hier.

Wir haben uns bisher mit der bei der Messung einer Messgröße zu erwartenden systematischen und statistischen Messabweichung beschäftigt sowie mit Methoden, die diese zumindest bis zu einem gewissen Maße korrigieren. Bei vielen messtechnischen Aufgabenstellungen – beispielhaft seien rechnergesteuerte Prüfstände genannt – werden jedoch die zugehörigen Messwerte mit Hilfe mathematischer Zusammenhänge miteinander verrechnet, um auf das eigentlich interessierende sog. Messergebnis zu kommen.

Das zugehörige Szenario zeigt Bild 13. Jede der n Messgrößen x1, …, xn unterliegt bei ihrer Messung einer zugehörigen Messabweichung e1, …, en. Aus den zugehörigen Messwerten xa1, …, xan wird gemäß

(Formel 24)

das Messergebnis y berechnet. Es lässt sich zeigen, dass unter der Annahme kleiner Messabweichungen e1, …, en (was wir in der Praxis stets anstreben müssen) die für y dann zu erwartende Messabweichung ey gemäß

(Formel 25)

berechnet werden kann. Sämtliche Messabweichungen verstehen sich auch hier als worst-case-Angaben. Man leitet also lediglich die Berechnungsfunktion f jeweils nach jeder Eingangsgröße partiell ab, was messtechnisch gesprochen der Empfindlichkeit von y gegenüber dieser Eingangsgröße entspricht, und addiert anschließend die mit den korrespondierenden Messabweichungen multiplizierten Empfindlichkeiten. Die hier angewandte Näherung besteht darin, dass die Empfindlichkeiten als unabhängig von den Messabweichungen angesehen werden. In ihre Berechnung fließen nur die konkret vorliegenden Messwerte selbst ein.

Bild 13: Verrechnung mehrerer Messungen zu einem Messergebnis

Wir wollen an einem Beispiel die Anwendung dieser Berechnungsvorschrift erproben. Wir nehmen dazu an, dass wir die elektrische Leistung an einem ohmschen Verbraucher bestimmen wollen, indem wir die Gleichspannung U und den Gleichstrom I separat messen und gemäß der bekannten Formel

(Formel 26)

zum Messergebnis P verrechnen. Es sollen folgende Werte gelten:

U = 10 V
eU = ±0,05 V (entspricht 0,5 % Relativabweichung, bezogen auf den Messwert)

I = 1 A
eI = ±0,02 A (entspricht 2 % Relativabweichung, bezogen auf den Messwert)

Die Anwendung von (25) ergibt dann:

(Formel 27)

Die Empfindlichkeiten (partiellen Ableitungen) sind hierbei jeweils konstant und positiv. Die „±“-Schreibweise bei den Messabweichungen deutet wie schon bekannt an, dass diese positiv oder negativ sein können und dass es sich bei den angegebenen Werten jeweils um den worst case handelt. Insgesamt ergibt (27) somit im worst case ein eP von ±0,25 W, was bezogen auf die sich ergebende Leistung P von 10 W einer Relativabweichung von 2,5 % entspricht. Letztere entspricht der Summe der auf den Messwert bezogenen Relativabweichungen (0,5 % sowie 2 %). Dies ist kein Zufall: Für die Multiplikation von Messwerten – hier allgemein mit einem Faktor k noch beaufschlagt – gemäß

(Formel 28)

gilt nämlich generell:

(Formel 29)

Für eine Division

(Formel 30)

gilt entsprechend:

(Formel 31)

Hier werden also die Relativabweichungen voneinander subtrahiert. Dies kann im konkreten Messfall auch zu einer teilweisen oder sogar vollständigen Kompensation der Messabweichungen führen, so dass das Messergebnis absolut korrekt ist. Jedoch kann der Anwender dies nicht erkennen! Er muss nach wie vor davon ausgehen, dass die beiden einzelnen Messabweichungen als „±“-worst-case-Werte in (31) anzusetzen sind, wodurch sich als schlechtest denkbare Kombination doch wieder die Summenbildung wie bereits in (29) ergibt.

Für andere funktionale Zusammenhänge lassen sich ähnliche Beziehungen herleiten. Die in unseren einfachen Fällen beobachtete reine Addition (bzw. vor worst-case-Kombination auch Subtraktion) der Relativabweichungen gilt dort dann nicht mehr. Grundsätzlich kann man mit (25) zu jeder auch noch so komplizierten Berechnungsvorschrift die sich beim Messergebnis ergebende Messabweichung berechnen.

Abschließend seien noch zwei ergänzende Hinweise gegeben:

1. Bei sehr einfachen funktionalen Zusammenhängen mit nur wenigen zu verrechnenden Messwerten kann man auch ohne die Näherungsformel (25) den worst caseder Messabweichungfür das Messergebnis y rein durch „Hinschauen“ ermitteln. So sieht man an obigen Beispielwerten der Leistungsmessung sehr schnell, dass sich die korrekten Werte für Spannung bzw. Strom im Intervall [9,95 V … 10,05 V] bzw. [0,98 A … 1,02 A] bewegen müssen. Nach Multiplikation ergibt sich somit ein mögliches Intervall [9,751 W … 10,251 W] für die Leistung. Unsere Abschätzung mit der Näherungsformel hat eine Abweichung von (exakt) ±0,25 W um 10 W ergeben, was dem ziemlich genau entspricht.

2. Der Leser mache sich bewusst, dass die sich bei der Verrechnung von Messergebnissen kumulierenden relativen Messabweichungen recht schnell eine Größenordnung erreichen können, die deutlich über der Größenordnung der Messabweichungen der einzelnen Messwerte liegt. Umso wichtiger ist es gerade hier, die Einzelmessungen sorgfältig zu projektieren und ggf. Korrekturmaßnahmen, wie sie in diesem Kapitel besprochen wurden, zu implementieren.

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