Typ P

„P“ steht hierbei für proportionales Verhalten und kennzeichnet ein Übertragungsglied, welches das Eingangssignal mit einem festen, „eingebauten“ Faktor multipliziert:

Man spricht auch vom „Verstärkungsfaktor“ k_P des Übertragungsglieds. Dieser kann unabhängig von diesem Sprachgebrauch vom Betrag her jedoch auch kleiner als 1 sein, ein positives oder negatives Vorzeichen besitzen und über eine physikalische Einheit verfügen, die für die Umskalierung der Einheit der Eingangsgröße auf jene der Ausgangsgröße sorgt.

Typ PT1

Im Gegensatz zum eher nicht so oft in Reinform auftretenden Typ P handelt es sich hierbei um das wohl häufigste Basisübertragungsglied. Es zeichnet sich mathematisch dadurch aus, dass in der Zeitbereichsgleichung, die nun auch erstmals eine echte Differentialgleichung darstellt, eine Zeitkonstante T₁ auftritt:

Die zugehörige Spektralgleichung lautet:

Das in früheren Kapiteln bereits häufiger angesprochene RC-Glied ist ein typisches Beispiel für PT1-Verhalten, insofern man die Summenspannung über beide Elemente als Eingangssignal und die Spannung an der Kapazität als Ausgangssignal verwendet. Ein Vergleich obiger beider Formeln mit den damals hergeleiteten zeigt, dass k_P dabei den Wert von 1 aufweist, während T₁ = RC ist.

Die Sprungantwort auf einen Eingangssprung auf x_e,0 lautet:

Speziell für x_e,0 = 1, k_P = 2 und T₁ = 1 ms simuliert, ist dies ein Verlauf gemäß nachfolgendem Bild. Wir haben hier bewusst auf die Verwendung physikalischer Einheiten verzichtet. Charakteristisch für den hier vorhandenen exponentiellen Verlauf ist, dass nach Ablauf der Zeitkonstanten T₁ ca. 63 % des Endwerts erreicht werden. Nach zwei/drei/fünf Zeitkonstanten sind es ca. 86/95/99 %.

Im letzten Kapitel wurde das Frequenzverhalten für das RC-Glied hergeleitet. Im allgemeinen Fall eines PT1-Glieds mit einem Verstärkungsfaktor k_P lautet es:

Markant ist dabei die Kreisfrequenz 1/T₁, bei welcher die Verstärkung um einen Faktor einbricht, der dem Kehrwert der Wurzel aus 2 entspricht, und die Phasenverschiebung (in Grad ausgedrückt) -45° beträgt.

Typ PT2

Ein sehr interessantes Verhalten zeigen sog. PT2-Systeme, bei denen zusätzlich zur Zeitkonstanten des PT1-Systems noch eine zweite hinzugenommen wird, was sich in der Differentialgleichung durch eine zweite Ableitung äußert. Wir wollen die Differentialgleichung nicht mit den Zeitkonstanten selbst schreiben, sondern direkt in der üblicherweise verwendeten Darstellung mit Parametern, die wir in der Sprungantwort bzw. dem Frequenzgang besser erkennen:

ω₀ nennt sich „Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung“, D ist die sog. „Dämpfung“ (auch „Dämpfungsgrad“). k_P bleibt die eingebaute Verstärkung, wie wir sie bereits von den beiden ersten Übertragungsgliedern kennen.

Typ D

Eher etwas seltener bei einem Basisübertragungsglied anzutreffen ist ein differenzierendes Verhalten. In idealer mathematischer Formulierung wäre dies

was physikalisch nicht zu realisieren ist. Ein Sprung im Eingangssignal würde hier zu einem unendlich hohen, unendlich kurzen Impuls führen. In der Praxis wird man differenzierendes Verhalten nur in Kombination mit einer Zeitkonstanten T₁ antreffen.

Typ I

Im Gegensatz zu Basisübertragungsgliedern mit D-Verhalten sind solche mit integrierendem Verhalten, daher der Name „Typ I“, häufiger anzutreffen. Sie folgen, geschrieben in der Standardform einer linearen Differentialgleichung, der Formel

was nach Auflösung nach x_a(t) die mit dem Faktor k_I gewichtete Integration des Eingangssignals ergibt.

Totzeitglied

Dieses sehr einfach verständliche Übertragungsverhalten besteht aus einer reinen Verzögerung eines Signals um eine konstante Zeit, der sog. Totzeit T:

Häufige Kombinationen von Basisübertragungsgliedern

Zwei sehr oft vorkommende Serienanordnungen von Basisübertragungsgliedern wollen wir ganz kurz separat aufführen, obwohl sich deren Verhalten natürlich aus den beiden Einzelgliedern einfach ableiten lässt. Beide Kombinationen haben aufgrund ihrer Verbreitung eine eigene Typbezeichnung.

Ein PT1Tt-System besteht aus hintereinander angeordneten PT1-Glied und Totzeitglied. Die Reihenfolge ist egal. Beim zweiten wichtigen Kombinationstyp, dem IT1-System, werden ein I-Glied und ein PT1-Glied in Serie angeordnet (auch hier in beliebiger Reihenfolge).